Abbiamo già visto come la legge di Ohm spieghi il legame tra tensione e corrente per una particolare componente di un circuito elettrico: la resistenza ohmica. Prima di conoscere gli altri componenti base, ci serve capire meglio come si comporta la corrente. Abbiamo un’idea solo per un singolo filo, ma cosa succede se colleghiamo più fili conduttori tra loro? Per capirlo senza impazzire, dobbiamo sfruttare le Leggi di Kirchhoff.
Legge di Kirchhoff delle Correnti (KCL)
Supponiamo di collegare un’estremità del nostro filo con quelle di altri due fili. Cosa succederà alla corrente?
Per il momento, trascuriamo cosa sia effettivamente presente sui fili, e concentriamoci soltanto sul nodo dove si uniscono.
La legge afferma che la somma delle correnti entranti in una regione del circuito delimitata da una superficie tridimensionale chiusa, è uguale alla somma delle correnti uscenti.
Nel caso del nostro nodo, significa che la somma delle correnti entranti nel nodo è uguale alla somma delle uscenti.
A pensarci è intuitivo: la corrente che arriva dal filo 1, andrà a dividersi negli altri due fili. L’aspetto meno scontato è che, anche non sapendo la vera direzione della corrente, ma orientandola a discrezione, la legge di Kirchhoff delle correnti continua a valere.
Inoltre, questo non vale solo nei nodi, ma in intere regioni del circuito, delimitate da superfici tridimensionali chiuse.
Ma da cosa capiamo la vera direzione che la corrente ha in un determinato filo? Semplice: una volta che avremo risolto il circuito (ovvero determinato i valori numerici), se avremo un segno negativo, la corrente va nella direzione opposta a come l’avevamo disegnata.
Prima di affrontare la seconda legge di Kirchhoff, introduciamo un’altra tipologia di componenti che ci servirà.
I generatori di tensione
Sono i responsabili dei fenomeni elettrici nel nostro circuito. Sono infatti “il motore” che tiene la corrente sempre in moto.
Generatori ideali di tensione
I generatori che consideriamo in questo primo momento sono ideali: non hanno limiti alla corrente che possono fornire.
I generatori ideali di tensione sono dei componenti a due terminali, come le resistenze. Impongono una differenza di potenziale fissa e definita tra i loro due terminali (positivo e negativo).
Gli rappresenteremo nei nostri circuiti con un simbolo apposito, accanto al quale scriveremo la differenza di potenziale imposta ai capi:
Come è intuitivo pensare, due generatori di tensione in serie, sono equivalenti ad un generatore di tensione che impone una tensione uguale alla somma di quella imposta da quelli di partenza:
Dobbiamo stare invece molto più attenti nel caso di generatori di tensioni in parallelo.
Se mettiamo in parallelo due generatori con tensioni differenti, questi entreranno in conflitto, fino a bruciarsi e/o danneggiare il circuito.
Mettere due generatori di tensione in parallelo è sempre azzardato. Se consideriamo due batterie, mettendole in parallelo otterremo una capacità (Ah) doppia, a parità di tensione. Tuttavia è opportuno che le batterie in questione siano esattamente dello stesso tipo, produttore, e cariche in partenza esattamente allo stesso modo.
Se le tensioni dei due generatori sono diverse, ognuno tenterà di imporre la tensione sull’altro. Risultato: se avete due batterie, finirete per scaricarle molto velocemente, mentre se avete generatori che erogano correnti superiori, rischiate di bruciare tutto.
Generatori reali di tensione
I generatori reali di tensione sono quelli che realmente possiamo utilizzare. Si compongono di un generatore ideale e una resistenza (chiamata resistenza interna).
Quelli dell’immagine, hanno un terminale rosso, che rappresenta il polo positivo (+) e un terminale nero, che rappresenta il polo negativo (-)
A livello di circuito, se ci dovesse servire, li rappresenteremo come:
$latex R_{int} $ rappresenta la resistenza interna del generatore, mentre E è l’etichetta con la sua tensione nominale (ovvero la tensione media che impone).
Batterie di uso comune
Per una batteria standard AA, la resistenza interna non è fissa nel tempo, ma varia tra circa $latex 0.1\Omega $ e $latex 0.9\Omega $.
Inoltre, come avevamo già accennato, le batterie non mantengono una tensione ai capi costante nel tempo.
Non dobbiamo infatti dimenticare che la batteria funziona grazie ai processi chimici al suo interno, e questo rende il processo di scaricamento non lineare, e molto diverso dal nostro modello teorico.
Se vogliamo preservare la durata delle batterie comuni (non al litio), è bene tenere a mente i seguenti valori (massimi) per la corrente di scaricamento:
L’utilizzo di correnti di scaricamento superiori, porterà ad una diminuzione della capacità effettiva, fino a rovinare definitivamente la batteria, nel caso di correnti sopra ad 1A.
Questo è quello che succede, ad esempio, se colleghiamo il polo positivo al polo negativo della batteria: a causa della bassa resistenza interna, superiamo 1A di corrente, e in poco tempo bruciamo la batteria.
Se ci servono correnti sopra all’ampere, dobbiamo rivolgerci alle batterie al litio, che possono garantire correnti anche di parecchi ampere.
Batterie al litio
Le batterie al litio sono più recenti, e sono impiegate in tantissimi dispositivi tecnologici, primi tra tutti i nostri smartphone.
Quelle più diffuse sono ai polimeri di litio, e quindi chiamate LiPo.
Le batterie al litio si distinguono anche per il numero di celle. Ogni cella porta con sé 3.7V, e la connessione tra le celle è in genere in serie.
Nella batteria dell’immagine, 2S = 2 Celle in Serie = 2 * 3.7V = 7.4V
In genere hanno indicato il loro fattore di scaricamento, chiamato fattore C. Alle volte è indicato il fattore C di scaricamento continuo, e quello di picco.
In qualche modo, questo fattore indica la corrente che batteria è in grado di erogare. In linea teorica:
$latex i_{max} = fattore C * Ah $
Una batteria di 1.5Ah con un fattore di scaricamento continuo 20C, e di picco 40C, dovrebbe quindi fornire una corrente di 30A in modo continuato e 60A di picco.
Nella batteria dell’immagine, possiamo solo specificare la corrente massima di scaricamento continuo 50C*5Ah = 250A.
Possiamo però dire che il fattore C non è molto affidabile, dato che i produttori tendono a gonfiarlo per questioni di marketing. È bene quindi sovradimensionare la batteria rispetto ai requisiti del nostro progetto, per evitare di danneggiarla.
Un altro utilizzo del fattore C è per specificare il tempo di scaricamento e caricamento.
Caricare una batteria LiPo di 1.5Ah con un fattore 1C, significa impiegare un’ora di tempo per completare il caricamento, utilizzando 1.5A di corrente. A 2C, significa impiegare 30min con 2*1.5A = 3.0A.
Nella batteria dell’immagine, è ammesso il caricamento fino a 3C, ovvero 3C*5Ah=15A.
Migliore è la qualità della batteria, maggiore è il fattore di caricamento/scaricamento consentito. In genere, si preferisce utilizzare 1C per il caricamento. In ogni caso, mai superare il valore massimo specificato sulla batteria.
È inoltre fondamentale caricare queste batterie solo con un circuito idoneo. Il processo di caricamento non è infatti lineare.
Le batterie al litio devono essere infatti trattate con molta cautela. A causa della elevata densità di energia che contengono, se usate in modo scorretto, possono esplodere e incendiare gli oggetti intorno. Questo vale in particolare durante il processo di caricamento: è consigliato restare in zona per intervenire rapidamente.
Allo stesso modo, mai utilizzare una batteria al litio che appare “gonfiata”.
Alimentatori
Se invece vogliamo utilizzare un alimentatore, come ad esempio quello di uno smartphone, basterà leggere le specifiche.
In particolare, la tensione ai capi sarà sempre quella indicata, mentre la corrente indicata è quella massima utilizzabile.
Nel caso di un caricatore per smartphone comune, la tensione è intorno ai 5V, e la corrente massima 2.5A
Legge di Kirchhoff delle Tensioni (KVL)
Ora che abbiamo inserito il nostro alimentatore nel circuito, con delle resistenze, vogliamo conoscere il valore delle tensioni/correnti nei vari punti. Per farlo, ci serve la legge di Kirchhoff delle tensioni.
Prima di poter comprendere l’enunciato della legge, occorre però capire cosa sia una maglia.
Le maglie sono formate dai nodi, che non devono necessariamente essere vicini tra loro. Possiamo inserire nodi dove vogliamo nel circuito, senza modificarne le proprietà, purché ovviamente tra i componenti del circuito.
Le maglie sono linee chiuse che passano per i nodi. Ogni nodo può essere considerato una sola volta al massimo.
In figura possiamo notare un circuito, in cui abbiamo una batteria e tre resistenze collegati da un filo conduttore. Abbiamo inserito dei nodi in corrispondenza di ogni incrocio.
Come possiamo vedere, nel circuito in figura troviamo tre diverse maglie (blu, rosa, giallo).
Ad ogni maglia che consideriamo, dobbiamo assegnare un verso di percorrenza, con la direzione che più ci piace.
A questo punto, inseriamo tutte le tensioni tra i nodi che sono toccati dalla maglia. Le rappresentiamo come frecce, che vanno dal nodo di partenza a quello di arrivo, con accanto un’etichetta, che può essere un identificativo, oppure il loro valore (numero).
Le direzioni delle frecce sono anch’esse a discrezione. La legge di Kirchhoff afferma che:
La somma algebrica delle tensioni lungo la maglia, prese positive se hanno direzione concorde alla direzione di maglia, negative altrimenti, è uguale a zero.
Nella nostra immagine, quindi: -V1 + V2 + V3 + V4 = 0
Convenzioni per le direzioni di tensioni e correnti
È importante notare la libertà che le leggi ci lasciano. Da questo punto in avanti, non dobbiamo più utilizzare la fisica per posizionare tensioni e correnti, ma solo attenerci a delle semplici convenzioni.
Queste convenzioni vengono chiamate “convenzione degli utilizzatori” e “convenzione dei generatori“, e sono molto semplici:
- Per gli utilizzatori, ovvero dispositivi che non immettono energia nel circuito ma la utilizzano (ad esempio le resistenze, …), tensione e corrente devono avere verso opposto.
- Per i generatori, ovvero dispositivi che fissano tensioni e correnti, tensione e corrente devono avere verso concorde.
Quando applichiamo la legge di Ohm su un utilizzatore, questa è valida nella sua forma se la convenzione è rispettata, altrimenti occorre anteporre alla formula un segno meno.
Sui generatori, invece, preferiamo prendere come direzione per la tensione quella “naturale”, ovvero dal polo negativo del generatore a quello positivo. Ad esempio, nella figura a destra, V=+3Volt.
Attenzione: non possiamo utilizzare la legge di Ohm su un generatore, ma soltanto sulle resistenze.
Resistenze in serie e parallelo
Due resistenze si dicono in serie se sono attraversate dalla stessa corrente.
Se abbiamo una o più resistenze in serie, possiamo sostituirle con una resistenza equivalente che ha come resistenza la somma delle resistenze.
Se invece le due resistenze sono alla stessa tensione, si dicono in parallelo.
Se abbiamo una o più resistenze in parallelo, possiamo sostituirle con una resistenza equivalente che ha come conduttanza la somma delle conduttanze.
Definiamo conduttanza l’inverso della resistenza, e la indichiamo con la lettera G (si misura in Siemens).
Esempio:
Simulazioni
Una considerazione importante, che finora era rimasta tra le righe è la seguente: la corrente passa per il percorso lungo il quale incontra meno resistenza, mentre va dal polo positivo al polo negativo del generatore.
Possiamo trovare questo comportamento anche se consideriamo l’acqua: immaginate di avere davanti un tubo per l’irrigazione. Lungo questo tubo, praticate dei fori, poi lo collegate ad un rubinetto e lo aprite.
Una volta attivato, l’acqua uscirà per la maggior parte dalla fine del tubo se i fori sono molto più piccoli di quello all’interno del tubo, oppure viceversa se i fori sono di dimensione paragonabile con quello interno.
Immaginiamo quindi che le resistenze nel circuito siano dei tubicini che partono dal tubo principale, ovvero quello collegato al generatore (che immaginiamo come il rubinetto). Se i tubicini sono piccoli, passerà poca acqua, che andrà in gran parte sul percorso dei tubicini più grandi.
Un caso un po’ particolare è quello che viene chiamato cortocircuito: un passaggio a resistenza 0, o trascurabile. In questo caso, la corrente seguirà il percorso del cortocircuito, anche se è presente un altro percorso a resistenza molto bassa.
Consideriamo ad esempio il circuito visto prima (usiamo un generatore da 5V):
Come ci aspettiamo, la corrente percorre la strada con minore resistenza.
Aggiungiamo ora altri percorsi:
Per semplificarvi la vita, ho scelto di hostare una copia del simulatore, realizzato da Paul Falstad, e adattato in HTML5 da Lush Projects. Lo potete trovare qui.
Partitori di corrente
Come possiamo osservare nelle simulazioni, la corrente si ripartisce in modo diverso nei due rami, se questi hanno resistenze diverse.
Per prima cosa, poiché il valore V è incognito, dobbiamo trovare una sua relazione con i valori noti. Ad esempio, possiamo fare un equivalente parallelo delle resistenze, e trovarlo attraverso la legge di Ohm:
Ora che abbiamo il valore V, possiamo applicare la legge di Ohm sulle singole resistenze di partenza:
Analogamente, vale per il resistore 2.
Partitore di tensione
Il partitore di tensione ci può tornare utile in diversi casi pratici che vedremo.
Coinvolge due resistori, e permette di calcolare la differenza di potenziale tra i due:
Nel nostro caso, vogliamo calcolare il valore di $latex V_{BC} $, conoscendo V e i valori delle due resistenze. Poiché non conosciamo la corrente, utilizziamo l’equivalente serie per ricavarla in funzione di V:
Adesso, applichiamo la legge di Ohm sulla resistenza 2:
Affinché le formule siano valide, è però necessario che la corrente verso il nodo C sia 0 o trascurabile, rispetto a i. Questo come vedremo è verificato nel momento in cui effettuiamo una misurazione della tensione.
Facciamo sempre attenzione ad usare la convenzione degli utilizzatori quando applichiamo la legge di Ohm!
Risoluzione di circuiti
Utilizziamo ora la Legge di Ohm e le leggi di Kirchhoff per risolvere circuiti facili. Risolvere un circuito significa trovare i valori numerici delle tensioni e correnti che ci interessano (eventualmente tutte).
Per risolvere circuiti semplici, seguiamo questi semplici passi:
- Semplifichiamo il circuito utilizzando le resistenze equivalenti, se possibile.
- Introduciamo le tensioni note nel circuito. Sono note ad esempio le tensioni dei generatori di tensioni, o le correnti dei generatori di corrente, che posizioniamo con la convenzione dei generatori.
- Individuiamo le maglie del circuito, e scriviamo le tensioni mancanti con la giusta convenzione.
- Scriviamo le leggi di Kirchhoff delle tensioni (KVL) a queste maglie.
- Utilizziamo le leggi di Ohm sulle resistenze, trovando le correnti da cui sono attraversate.
- Utilizziamo le leggi di Kirchhoff delle correnti (KCL), con le correnti di generatori di corrente e resistenze.
- Una volta risolto il circuito equivalente trovato, utilizziamo partitori di tensioni e correnti per risalire al circuito originario.
Adesso che conosciamo le leggi di Kirchhoff, addentriamoci nel mondo dell’elettronica con il prossimo articolo.